Thứ Tư, 8 tháng 1, 2014

Một số đề hình học

Bài 1. Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Đường tròn $(K)$ đi qua $B,C$ cắt $AB,AC$ tại $E,D$. Điểm $P$ nằm trên cung $\widehat{BAC}$ của $(O)$. Chứng minh rằng $BD,CE,KP$ đồng quy khi và chỉ khi các tam giác $PBD$ và $PCE$ có cùng tâm nội tiếp.

Bài 2. Cho $h_a, h_b, h_c$ là độ dài đường cao của tam giác $ABC$ từ $A, B, C$. $P$ là điểm bất kỳ trong tam giác. Chứng minh rằng $$\frac{PA}{h_b+h_c} + \frac{PB}{h_a+h_c} + \frac{PC}{h_a+h_b} \ge 1.$$

Bài 3. Cho tam giác $ABC$. $M,N$ thuộc $CA,CB$ sao cho $MN$ song song $AB$. $P,Q$ thuộc BA,BC sao cho $PQ$ song song $CA$. Đường tròn nội tiếp tam giác $CMN$ tiếp xúc $CM$ tại $E$. Đường tròn nội tiếp tam giác $BPQ$ tiếp xúc $PB$ tại $F$. $EN$, $FQ$ lần lượt cắt $AB,AC$ tại $R,S$. Giả sử $AE=AF$, chứng minh rằng tâm đường tròn nội tiếp tam giác $AEF$ thuộc đường tròn nội tiếp tam giác $ARS$.

Bài 4. Cho đường tròn $(O_1),(O_2)$ cắt nhau tại $A,B$. $S_1,S_2$ thuộc đường thẳng $AB$. $S_1X_1,S_1Y_1$ là tiếp tuyến của $(O_1)$. $S_2X_2,S_2Y_2$ là tiếp tuyến của $(O_2)$. $M$ là trung điểm của $AB$. Chứng minh rằng $X_1X_2$ đi qua $M$ khi và chỉ khi $Y_1Y_1$ đi qua $M$.

Bài 5. Cho lục giác lồi $AC'BA'CB'$ có các cạnh đối diện bằng nhau. Gọi $A_1$ là giao của $BC$ và trung trực của $AA'$. Tương tực có $B_1$ và $C_1$. Chứng minh rằng $A_1$, $B_1$, và $C_1$ thằng hàng.

Bài 6. Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$ và tâm nội tiếp $I$. $AI$ cắt $(O)$ tại $D$. Đường thẳng qua $I$ vuông góc $IA$ cắt $BC$ tại $M$. Gọi các giao điểm thứ hai của $MA,MD$ với $(O)$ là $P,Q$. Chứng minh rằng đường thẳng qua $M$ vuông góc $OI$ và các đường thẳng $PQ,AD$ đồng quy.

Bài 7. Cho tam giác $ABC$ đường tròn nội tiếp $(I)$. $P$ là điểm sao cho $PI\perp BC$ và $PA\parallel BC$. $Q,R$ thuộc $AB,AC$ sao cho $QR$ tiếp xúc $(I)$ và $QR\parallel BC$. $(O_1)$ là đường tròn ngoại tiếp tam giác $PBC$,$(O_2)$ là đường tròn ngoại tiếp tam giác $PQR$. $(O_1)$ giao $(O_2)$ tại $S$ khác $P$. Chứng minh rằng tâm đường tròn nội tiếp các tam giác $SQR,SBC$ và $I$ cùng nằm trên một đường thẳng và đường thẳng này song song $O_1O_2$.

Không có nhận xét nào:

Đăng nhận xét