Thứ Sáu, 23 tháng 5, 2014

7 bài toán hình học trong các kỳ thi IMO

Cuộc thi toán quốc tế (IMO) được tổ chức bắt đầu từ năm 1959 liên tục cho tới nay. Dưới đây là đường link tới toàn bộ các đề IMO chính thức trên diễn đàn AoPS 


Mỗi bài toán IMO đều là những bài toán tuyệt vời về nhiều phương diện. Trong mỗi kỳ thi IMO thì bài toán hình học hầu như luôn xuất hiện và có vai trò đặc biệt quan trọng. Trong mỗi bài toán hình học nói riêng của IMO đều dẫn đến nhiều sự kiện mới thú vị trong hình học.

Bài viết này chỉ là dựa trên quan điểm cá nhân, muốn chọn ra 7 bài toán hình học theo tôi là rất có ý nghĩa trong suốt các kỳ thi từ năm 1959 cho tới 2013. Các bài toán được xắp xếp theo thứ tự thời gian. Mỗi bài toán là một ý nghĩa riêng, một chân trời riêng. Theo quan điểm cá nhân tôi để lựa chọn ra một bài toán hình học Olympic hay có thể dựa trên 7 tiêu chí sau

- Bài toán có ý nghĩa lịch sử và nó được dùng làm bổ đề trong nhiều bài toán khác sau này.

- Bài toán có nhiều ý gợi mở và phát triển được ra nhiều bài toán hình học khác liên quan.

- Bài toán là một trường hợp riêng có ý nghĩa nhất trong một bài toán tổng quát nhiều ý nghĩa.

- Bài toán có thể được giải theo nhiều cách khác nhau mỗi cách giải thể hiện một công cụ mạnh của hình học và nó mở ra cho bài toán những hướng tổng quát và phát triển mới.

- Bài toán có độ khó cao đòi hỏi phải dựng thêm nhiều hình mới giải quyết được theo kiểu thuần túy hình học hoặc là một sự kiện không khả thi cho các công cụ tính toán và lượng giác cũng như tọa độ.

- Bài toán là một kết quả đẹp bền chặt mà tất cả các yếu tố và dữ kiện trong đề bài là cần thiết và không thể thay thế.

- Bài toán mà để khi làm nó thì chúng ta đều tìm ra được những người giỏi và yêu hình học thực sự.

Tôi xin dịch lại 7 bài toán đó từ diễn đàn AoPS giữ nguyên tất cả văn phong và ký hiệu gốc của bài toán

Bài toán 1 (IMO 1985 bài 5 ngày 2). Đường tròn với tâm $O$ đi qua các đỉnh $A$ và $C$ của tam giác $ABC$ cắt các đoạn thẳng $BA,BC$ lần thứ hai tại các điểm $K$ và $N$. Gọi $M$ là giao điểm của các đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ và $KBN$ (khác $B$). Chứng minh rằng $\angle OMB=90^\circ$.

Bài toán 2 (IMO 1996 bài 2 ngày 1). Cho điểm $P$ nằm trong tam giác $ABC$ sao cho $\angle APB-\angle ACB=\angle APC-\angle ABC$. Gọi $D,E$ lần lượt là tâm nội tiếp các tam giác $APB,APC$. Chứng minh rằng $AP,BD,CE$ đồng quy.

Bài toán 3 (IMO 1999 bài 5 ngày 2). Hai đường tròn $\Omega_1$ và $\Omega_2$ tiếp xúc trong đường tròn $\Omega$ tại $M$ và $N$ đồng thời tâm của $\Omega_2$ nằm trên $\Omega_1$. Tiếp tuyến chung của $\Omega_1$ và $\Omega_2$ cắt $\Omega$ tại $A$ và $B$. $AM$ và  $MB$ cắt $\Omega_1$ tại $C$ và $D$ khác $M$. Chứng minh rằng $CD$ tiếp xúc $\Omega_2$.

Bài toán 4 (IMO 2000 bài 6 ngày 2). Gọi $AH_1,BH_2,CH_3$ là các đường cao của tam giác nhọn $ABC$. Đường tròn nội tiếp tam giác tiếp xúc các cạnh $BC,CA$ và $AB$ lần lượt tại $T_1,T_2$ và $T_3$. Xét đối xứng của các đường thẳng $H_1H_2,H_2H_3$ và $H_3H_1$ lần lượt qua các đường thẳng $T_1T_2,T_2T_3$ và $T_3T_1$. Chứng minh rằng các đường thẳng đối xứng này tạo thành một tam giác có các đỉnh nằm trên đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$.

Bài toán 5 (IMO 2004 bài 5 ngày 2). Trong tứ giác $ABCD$ các đường chéo $BD$ không là phân giác các góc $\angle ABC$ và $\angle CDA$. $P$ là một điểm nằm trong tứ giác $ABCD$ thỏa mãn $\angle PBC=\angle DBA$ và $\angle PDC=\angle BDA$. Chứng minh rằng tứ giác $ABCD$ nội tiếp khi và chỉ khi $AP=CP$.

Bài toán 6 (IMO 2009 bài 1 ngày 1). Cho tam giác $ABC$ với tâm ngoại tiếp $O$. $P$ và $Q$ là các điểm lần lượt nằm trên đoạn thẳng $CA$ và $AB$. Gọi $K,L$ và $M$ lần lượt là trung điểm của $BP,CQ$ và $PQ$, và $\Gamma$ là đường tròn đi qua $K,L$ và $M$. Giả sử rằng $PQ$ tiếp xúc $\Gamma$. Chứng minh rằng $OP=OQ$.

Bài toán 7 (IMO 2011 bài 6 ngày 2). Cho tam giác $ABC$ nhọn với đường tròn ngoại tiếp $\Gamma$. Gọi $\ell$ là một tiếp tuyến của $\Gamma$. Gọi $\ell_a,\ell_b$  và $\ell_c$ lần lượt là đối xứng của $\ell$ qua $BC,CA$ và $AB$. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác tạo bởi các đường thẳng $\ell_a,\ell_b$ và $\ell_c$ tiếp xúc $\Gamma$.

Trong 7 bài toán này có thể mỗi bài toán mang một ý nghĩa riêng, một màu sắc riêng hoặc là với một tiêu chí riêng nào đó, nhưng thực sự nó đều là các bài toán tinh túy bậc nhất của hình học phẳng Olympic. Bài viết chỉ mang tính chất so sánh vui vẻ và cũng là những quan điểm hết sức cấ nhân và đặt trên blog riêng của tôi hy vọng nó sẽ không làm phật ý hoặc đụng chạm gì tới bất kỳ ai.

Mong rằng bài viết vui vẻ này sẽ giúp các bạn có một cái nhìn vui hơn và lạ hơn cho các bài toán thi IMO đặc biệt là các vấn đề hình học.

Trần Quang Hùng.

Không có nhận xét nào:

Đăng nhận xét