Thứ Bảy, 3 tháng 5, 2014

Đề hình vô địch toàn Nga năm 2014

Bài 1. Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Tiếp tuyến tại $A,C$ của $(O)$ cắt nhau tại $P$. $BP$ cắt $AC$ tại $S$. $D$ là hình chiếu của $A$ lên $BP$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $SCD$ cắt $(O)$ tại $K$ khác $C$. $M$ là trung điểm $AC$. Chứng minh rằng $\angle CKM=90^\circ$.

Bài 2. Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$ với $AB>BC$. Trên cạnh $BA,BC$ lấy các điểm $M,N$ sao cho $AM=CN$. $MN$ cắt $AC$ tại $K$. Gọi $P$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $KAM$ và $Q$ là tâm đường tròn bàng tiếp góc $K$ của tam giác $KCN$. Chứng minh rằng trung trực $PQ$ và $BC$ cắt nhau trên $(O)$.

Bài 3. Cho hình thang $ABCD$ nội tiếp đường tròn $(O)$ với $AB\parallel CD$. Một đường tròn đi qua $C,D$ cắt $CA,AB$ tại $A_1,B_1$. Gọi $A_2,B_2$ lần lượt đối xứng $A_1,B_1$ qua trung điểm của $CA,AB$. Chứng minh rằng $A,B,A_2,B_2$ cùng thuộc một đường tròn.

Bài 4. Cho tam giác $ABC$ trung tuyến $BM$. $P,Q$ lần lượt thuộc đoạn $MA,MC$ sao cho $PQ=MA=MC$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABQ$ cắt $CB$ tại $X$ khác $B$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $BCP$ cắt $BA$ tại $Y$ khác $B$. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác $BXY$ đi qua $M$.

1 nhận xét: