Thứ Ba, 24 tháng 2, 2015

Bài hình học kiểm tra trường hè Đà Nẵng năm 2014

Đề bài. Cho tam giác $ABC$ có đường tròn nội tiếp $(I)$ tiếp xúc $BC$ tại $D$. $M$ là trung điểm $BC$. $K$ là trực tâm tam giác $IAC$.

a) Chứng minh rằng $DK \perp IM$.

b) Gọi $H,L$ lần lượt là trực tâm tam giác $IBC,IAB$. Gọi $X$ đối xứng $D$ qua $IM$ và các điểm $Y,Z$ được định nghĩa tương tự. Chứng minh rằng $HX,KY,LZ$ đồng quy.



Lời giải.  

a) Do $IK,ID$ lần lượt vuông góc $CA,CB$ nên $\angle KID=\angle ACB$. Gọi $P$ đối xứng $D$ qua $M$. Do $K$ là trực tâm tam giác $IAC$ nên dễ có $\frac{ID}{PC}=\frac{ID}{BD}=\frac{IK}{AC}$. Từ đó tam giác $KID$ và $ACP$ đồng dạng, suy ra $\angle IKD=\angle PAC$ nên $KD\perp AP\parallel IM$. Ta có điều phải chứng minh.

b) Dễ thấy $DK,DL$ cùng vuông góc $IM$ nên $KL$ đi qua $D$. Tương tự nếu $(I)$ tiếp xúc $CA,AB$ tại $E,F$ thì $HL,HK$ lần lượt đi qua $E,F$. Từ đó dễ thấy $X$ thuộc $(I)$ và cũng thuộc $KL$ nên $X$ là giao điểm thứ hai khác $D$ của $(I)$ và $KL$. Tương tự với $Y,Z$. Ta lại có $HD,KE,LF$ đồng quy từ đó suy ra $HX,KY,LZ$ đồng quy.

Không có nhận xét nào:

Đăng nhận xét